Trigonometri, üçgenlerle ilgili çalışmalar yapılan bir bilim dalıdır. Matematik biliminin yan dallarından biridir. Trigonometri sözcüğü Yunancada “üçgenlerin ölçülmesi” anlamına gelir. Bu bilim dalı, üçgenlerin açıları ve kenarlarıyla, bunlar arasındaki bağıntıları inceler.
Bir ırmağın enini üzerinden geçmeden nasıl ölçebilirsiniz? Yahut, tepesine kadar çıkmadan yüksek bir binanın yüksekliğini bulabilir misiniz? Trigonometri, bu tür. problemlerin çözümünde yardımcı olur. Denizciler ve pilotlar da rotalarını belirlemekte trigonometriden yararlanırlar. Trigonometri, uzunlukları, cetvelle veya metreyle ölçmeksizin bulmamıza yardımcı olur. Bu hesaplarda. bilinen uzunluk ve açılardan yararlanarak, bilinmeyen uzunluk bulunur. Bilinmeyen uzunluklar. üçgenler oluşturularak hesaplanılır. Yüksek bir yapının yüksekliğinin bulunmak istendiğini düşünelim. Yükseklik, dama çıkıp, aşağıya bir şerit metre sarkıtarak ölçülebilir. Fakat bu hem güç, hem de tehlikelidir. Bunun yerine, yapının yerdeki gölgesinden yararlanılarak yüksekliği daha kolay bulunabilir. Gölgenin uzunluğu, yerde kolayca ölçülebilir. Bina tepesinden geçerek gelen Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı da, sekstan denilen özel bir araçla belirlenebilir. Yapının yüksekliği ve gölgesinin boyu, bir üçgenin iki kenarını oluştururlar.
Bunlar, bir ABC üçgeninin BC ve AB kenarlarıdır. AC kenarını ise, Güneş ışınları oluşturur. Böylece üçgenin üç kenarı ortaya çıkar. A noktasındaki açı Güneş ışınlarının yerle yaptığı açıdır.
Gölgenin boyunun ölçülerek 7,5 metre, açının da 60° bulunduğunu düşünelim. Bu bilgilerle bir üçgen çizilebilir. Çizilecek bu üçgenin kenar uzunluğunun 7,5 m. olması gerekmez. Bir ölçekle daha küçültülerek çizilebilir. Örneğin, 1 metre 1 cm. ile gösterilebilir. Bu durumda, şekli asıl üçgene benzeyen, fakat ondan daha küçük bir üçgen çizilmiş olur. Çizilen küçük üçgenin BC kenarı cetvelle ölçülüp, ölçege göre metreye çevrilerek yapının yüksekliği bulunur. Bu örnekte sonuç 13 m. olacaktır.
Bu yükseklik bulma yöntemi fazla elverişli degildir. Ölçekli olarak çizmek fazla zaman alır. Bunun yerine, aynı bilgilerden ve trigonometriden yararlanarak da yükseklik hesaplanabilir.
Yapının yüksekliği. gölgesinin uzunluğu ve Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı arasında belirli bir oran vardır. Bu orana, açının tegeti adı verilir. Açının tegeti, yapı yüksekliğinin. gölge uzunluğuna bölümüne eşittir. ABC üçgeninde, BC kenarının AB’ye oranıdır.
Bu orandan yararlanılarak yapının yüksekliği hesaplanabilir. Yapının yüksekliği. yerdeki gölgenin uzunluğuyla, A açısının tegetinin çarpırmna eşittir. Gölgenin uzunluğu 7,5 m. olarak ölçülmüştür. 60 derecelik açının tegeti nedir? Bunun degeri 1,732′dir. Bu değer, çeşitli açıların tegetlerini gösteren trigonometri listelerinden bulunur. Şimdi yapılacak iş, 7,5 sayısıyla 1,732′nin çarpımını bulmaktır. Sonuç 13 m.’dir; böylece yapının .vüksekliği bulunmuş olur: Bu sonuç kesin olup ölçekli bir çizimi gerektirmez.
Tegetten başka, üçgenin kenarları ve açıları arasında daha degişik bağıntılar da vardır. Sinüs ve kosinüs bunlardan ikisidir. Bunların ne olduğunu anlamak için, ABC üçgeninde AC kenar uzun luğunu bulmak istediğimizi düşünelim. Bu uzunluk Güneş ışınlarının yerle yapı arasındaki boyu olmaktadır.
Yapının gölgesinin boyunun (AB kenan), AC’ye bölümü, 60 derecelik açının kosinüsüne eşittir. Buna göre, AC boyu, gölgenin boyunun kosinüs 600′ye bölümüne eşit olmaktadır. Cos 600′yi yine matematik tablolarından bulabiliriz. Bu değer O,5OO’dür. 7,5 m’yi bu değere bölerek, AC uzunluğunu 15 m. olarak buluruz.
Yapının yüksekliğini, AC boyundan yararlanarak bulmak isteyelim. 60 derecelik açının sinüsü, BC boyunun AC’ye bölümüne eşittir. Dolayısıyle, yapı yüksekliği, AC ile açının sinüsünün çarpımı kadardır. Matematik tablolarından, sin 600′yi 0,866 olarak buluruz. Bu değer, 15 m. olan AC boyuyla çarpılarak, yapı yüksekliği yine 13 m. olarak bulunabilir Aynı sonuç açının tegetini kullanarak da hesaplanm ıştır.
Aynı yolla, bir duvara dayanmış merdivenin boyu ve duvarın yüksekliği. duvarla merdivenin alt ucu arasındaki uzaklık ve merdivenin yerle yaptığı açı ölçülerek, hesaplanabilir.
Yukarıda tanımlanan oranlar, trigonometride en çok kullanılan değerlerdir. Sinüs, kosinüs ve teget bir açıya bağlı olarak, üçgenin kenarlarının birbirine oranlarını verirler. Böyle bir üçgenin dik üçgen olması gereklidir. Yani, üçgenin açıları nçan biri 90° olmalıdır. Dik olmayan üçgenlerde, daha karışık oranlar vardır.
Tanımlanan temel bağıntı,şekildeki DEF üçgeninde yeniden açıklanmaktadır. Burada açı (x) olarak gösterilmektedir. X açısının değeri, sıfır ile
gölgenin eni90° arasında herhangi bir değer olabilir. Açının karşısındaki kenara karşı dik kenar denir. Dik açının karşısındaki kenarın adı hipotenüstür. X açısının yanındaki diğer kenara ise komşu dik kenar adı verilir.
X açısının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranına eşittir. Kosinüsü ise, komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. Açının tegeti de karşı dik kenarın, komşu dik kenara oranıdır.
Sinüs, kosinüs ve teget değerleri, yalnız X açısının değerine bağlıdrrlar. Üçgenin büvüklüğüvle ilgili değildirler. Farklı büyüklükte iki dik üçgende, X açıları avnıvsa, bu değerler de aynıdır. Sinüs, kosinüs ve teget dik üçgenlerde iki kenarın birbirine oranı şeklinde tanımlanırlar. Dolayısıyle, herhangi bir birimleri yoktur. Yalnızca birer savıdırlar. Açının büyüklüğüne bağlı olarak değişirler. X açısı OO’den 900′ye değişirken, Sinüs O’dan 1′e, kosinüs ‘l’den O’a doğru değişen değerler alırlar. Fakat X açısının tegeti ‘l’den sonsuza kadar değişir. Sonsuz, hesaplanamayan büyüklükte bir sayı demektir.
