Cebir matematik biliminin bir dalıdır. Aritmetiğe benzer. Ancak sayıların yanı sıra, sayıları simgeleyen harfler kullanır.
Sayıların yerine simge kullanılmasının bir nedeni, genellikle söz konusu sayının kaç olduğunun biIinmemesidir. Şu örneği alalım: Bir çocuk, fiyatı 5 lira olan bir şeyi alabilmek için 2 liraya daha gereksinme duyduğunu söylüyor. Bu cebirsel olarak, x+2=5 olarak gösterilir. Burada x çocukta olan parayı gösterir. Bu durumda x harfinin hangi sayıyı gösterdiği bulunabilir. Aşağıda bunun yolları üzerinde duracağız.
Cebir bir tür kısaltma olarak değerlendirilebilir. Toplama ve çıkarma işlemleri için aritmetikteki + ve – işaretleri kullanılır. Aritmetikte çarpma işareti olarak x kullanılır. Cebirde ise x genellikle bilinmeyen sayıları gösterdiğinden çarpma işareti olarak kullanılmaz. Cebirde iki sayının çarpılacağını göstermek için bu iki sayı, aralarında hiç bir işaret olmaksızın yan yana yazılır. Örneğin 2x,2 sayısı ile x/in yerini tuttuğu sayının’ çarpılacağını gösterir. Aynı biçimde, ab,a’nın yerini tuttuğu sayı ile b’nin yerini tuttuğu sayının çarpılması gerektiği anlamına gelir.
Bölme işlemi için kesirli sayılarda olduğu gibi düşünülür. x/3, x’in 3 ile bölünmesi anlamına gelir. Bir sayının kendisi ile birden fazla çarpılması gerektiğini göstermek için de “üs” adı verilen küçük sayılar kullanılır. Örneğin, x2 ,x’in x ile çarpılması demektir. x 4 ,dört x/in birbiri ile çarpılmasıdır. 2 ve 4 savılarınana üs adı verilir.
x2+2xy-3v örneği cebirsel bir anlatımdır. x ve y bilinmeyen iki sayıyı gösterir. Eğer x, 3 sayısını y de 5 sayısını gösteriyorsa, yukarıdaki anlatım şöyle olur:· (3×3)+(2x3x5)-(3×5) ya da 9+30-15; yani 24. Parantezler, hangi işlemin önce yapılması gerektiğini gösterir.
Cebirsel anlatım: Sayıları kullanarak tam bir anlatım yapabilmek için bazı yardımcılar vardır. Bunlar =Ieşit): > (daha büyük); < (daha küçük) işaretleridir. Örnek: 2+3=5; 2+3 >4; 2+3 <6.
Sayıların yerine simgeler de kullanılabilir. Örneğin: 2x+3=7. Bu bir denklemdir. Bu denklem, 2· ile x’in gösterdiği sayının çarpımına 3 eklendiğinde 7′ye eşit olduğunu belirtmektedir. Bu anlatım, x’in 2′yi göstermesi durumunda doğrudur; eğer x başka bir sayıyı gösterirse yanlış olur.
Bir denklem, bilinmeyen sayının belli değerler alması durumunda doğru olan bir cebirsel anlatımdır. Bu değerlere denklemin çözümü adı verilir.
Eşitsizlik 2x+ 3 > 7 gibi bir anlatımdır. Bu anlatım x’in birçok değerleri için doğrudur. Gerçekten de 2′den büyük bütün değerler için doğrudur. Bir denklemi veya eşitsizliği çözmek demek, cebirsel anlatımı doğrulayan sayı veya sayı dizisini bulmak demektir.
Bir denklem, bir salıncağa ya da bir teraziye benzetilebilir. Resimde, terazinin sol kefesindeki 2x+ 3, sağ kefesindeki 11 ile dengelenmektedir Denklemin bir tarafı değiştirilirse, dengeyi korumak için öbür tarafının da değiştirilmesi gerekir. Bu örnekte iki taraftan da 3 çıkartılırsa denklem, 2x=80Iur. Böylece ,,=4 dür.
Bir denklemi çözmek için bilinmeyen sayıyı gösteren bir denklem elde etmek gerekir. Bu son denklemin sadece bir tarafında bilinmeyen sayı vardır. Denklemin karşı tarafında da bilinmeyen hiç bir şeyin kalmaması gerekir. Aritmetikte yalnızca belirli sayılarla anlatım yaplır.Örneğin, 3+2=5 bir aritmetik anlatımıdır. Fakat bazı durumlarda bütün sayılar için veya bir sayı dizisi için geçerli olan bir anlatım yapmak istenir. 3+2.=2+3 ve 4+6=6+4 örneklerini bütün çift sayılara uygulamak istediğimizi düşünelim. Bunu a+b= b+u gibi tek bir cebirsel anlatımla gösterebiliriz; burada a ve b rastgele bir sayıyı gösterirler. Bu denklem, toplanan iki sayının sırasının önemli olmadığını, sonucun aynı olduğunu gösterir.
Geometriye uygulanan çok önemli bir cebirsel anlatım örneği ünlü Pisagor teoremidir. Açılarında biri 906 olan bir dik kenar üçgenin en uzun kenar a olsun, öbür kenarları da b ve c olsun. Teoreme göre a2=b2 +c2dir. Yani,”uzun kenarın karesi, öbür kenarların karelerinin toplamına eşittir”. Bu bir genel sonuçtur; çünkü, bütün dik kenar üçgenler için geçerlidir. Fakat rastgele üç sayı için doğru değildir. Bu denklemin sadece iki çözümü vardır: a=5, b=4, c=3 ve a=13, b=12, c=5.
Cebir aracılığı ile yeni sayıların bulunması olanaklı olmuştur. Buna örnek olarak eksi sayılar gösterilebilir. Bir çocuğun evinden 2 km. kuzeye yürüdüğünü düşünelim. Bu uzunluğu 2 ile yazabiliriz. Eğer 3 km. daha kuzeye doğru yürürse bunu 2 + 3 = 5 biçiminde gösterebiliriz.
Şimdi çocuk 2 km. güneye doğru yürürse, evinin 3 km. uzağına gelmiş olur. Bu, 5-2=3 olarak yazılır. çocuğun güneye doğru yürümesi sonun o da 2 km.’nin çıkartılması gerekir.
Çocuk bu sefer 4 km. güneye giderse evinin 1 km. güneyine varır. Bu durumda 3-4= -1 yazmak gerekir. Eksi işareti 1 km. güneyi gösterir. -1′e eksi sayı adı verilir. Önünde bir işaret olmayan sayılar artı sayılardır.
Eksi sayılar. örneğin bir sarnıç içindeki su düzeyinin normal su düzeyinden kaç litre az olduğunu’ göstermek için de kullanılır. Artı sayılar ise suyun, bu düzeyden kaç litre fazla olduğunu gösterir.
Bir kap içindeki su normal düzeyden 3 litre yukardaysa. kabın içinde normal düzeyden 2 litre fazla sudan, daha çok su var demektir. Bu durumda 3 > 2 yazılabilir.
Kap içindeki su normal düzeyden 3 litre aşağıdaysa. normal düzeyden 2 litre az sudan, daha az su var demektir. Bu durumda -3 < -2 yazılabilir.
Cebir, sadece aritmetikte değil, matematiğin de birçok yerlerinde kullanılır. Bunun bir örneği küme kuramıdır.
Küme, bir araya gelmiş birden fazla herhangi bir . cisim olabilir: Elmalar, sayılar, geometrik şekiller, vb. Bunlar, harflerle gösterilebilir.
Bir okulda öğrenci olan bütün kızlar bir arada düşünüldüğünde bir küme oluştururlar. Bu K küme si olsun. Bir sınıf ta okuyan bütün öğrenciler de bir başka kümeyi, S kümesini oluştursunlar. Bu iki küme birbiri içine girer; sınıf ta kız öğrenci varsa bunlar her iki kümede de yer almaktadır.
iki kümeyi birleştirerek daha büyük bir küme yapabiliriz. Bir okuldaki erkek öğrencilerden oluşan E kümesi ile kız öğrencilerden oluşan K kümesi ‘o okuldaki bütün öğrencilerden oluşan T kümesi içinde yer alırlar.T kümesi E kümesi ile K kümesinin toplamıdır.
Birbiri içine giren iki kümeye kesişen kümeler adı verilir. Yukarıdaki örnekte, kız öğrenciler kümesi K ile bir sınıftaki öğrenciler kümesi S birbiri içine girer. Bunlar kesişen kümelerdir.
Simgeler aracılığı ile, sayılarda olduğu gibi; kümelerle de hesaplama yapılabilir.
Problem çözme: Birçok problem, cebir kullanılarak çözülebilir. Bunun için ilk adım, problemi cebirsel simgelerle anlatan denklem veya eşitsizlik kurmaktır.
Toplamları 12 olan ve birisi diğerinin iki katı olan iki sayıyı bulmak istediğimizi düşünelim.
Bunun için, sayılardan birini x ile gösteririz. Bu durumda.öbür sayı 2x olur. Denklem bu iki sayının toplamının 12′ye eşit olduğunu gösterir; yani, x+2x=12. Denklemi 3x=12 olarak da yazabiliriz. Denklemin iki tarafını 3 ile bölersek x=4 elde ederiz. Demek ki sayılardan biri 4, öbürü ise 2x yani 8′dir.
Bazı problemler, iki bilinmeyenli denklemleri gerektirir. Örnek: ikisinin uzunluğu eşit olan üç odun parçası uç uca eklenince 10 metre oluyor; her parçanın uzunluğu nedir? Eşit odunların uzunluğunu y ile, üçüncü odunun uzunluğunu ise x ile gösterirsek denklemi şu şekilde kurabiliriz: x+2y=10. Bu denklemin çözümlerinden bazıları şunlardır: x=2, y=4 ya da x=4, y= 3 ya da x=5 1/2, y=2 1/4. Bu denklemin sayısız çözümü vardır; böyle denklemlere “belirsiz” adı verilir. Şimdi odunlardan birinin öbür iki odundan 1 metre daha uzun olduğunu varsayalım. Bu durumda şu denklemi kurabiliriz: x-y= 1. Bu denklemin de birçok çözümü vardır. Bu çözümlerden bazıları şunlardır: x=2, y= 1 ya da x=4, y=3 ya da x=8, v=Z, vb. Ancak her iki denklemde de’ ortak olan tek bir çözüm vardır: x=4 ve y=3. Birlikte çözülen denklem çiftine “iki bilinmeyenli denklem” adı verilir.
iki bilinmeyenli denklemlerin çözümü grafik aracılığıyla şu şekilde gösterilebilir. Birinci denklemin çözümü olan x=2, y=4 için grafiğin solundan iki birim ve altından 4 birim uzaklıktaki yere kırmızı bir nokta konur. Aynı işlem, birinci denklemin bir başka çözümü olan x=3, y=3 1/2 için ve diğer çözümleri için yapılır.
Bundan sonra, ikinci denklemin çözümleri mavi kalemle yazılır. Kırmızı noktalar kırmızı, mavi noktalar mavi ile birleştirilerek denklemin “grafiği” adı verilen iki doğru elde edilir. Kırmızı çizgi üzerindeki her nokta, birinci denklemin çözümüdür; mavi çizgi üzerindeki her nokta da ikinci denklemin çözümü olur.
Her iki doğru üzerinde yer alan tek bir nokta vardır; bu nokta, iki doğrunun kesiştiği yerdir. Bu nokta iki bilinmeyenli denklemin çözümü olan x=4, y=3 noktasıdır.
Bazı cebirsel anlatımlar harflerin yerine geçecek her sayı için doğrudur. Bu anlatımlara özdeşlik adı verilir. Aşağıda bunların önemlileri verilmektedir.
a(b+ c) = ab+ ac
(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)=a2-2ab+b2(a+b(ab)=a2_b2
a ve b. simgelerine herhangi bir değer vererek bunları doğrulayabilirsiniz,
Üsleri n kullanılmasına ilişkin kurallar cebirsel olarak yazılabilir. x’nin x’ ile çarpılması şöyle yazılabilir: ix3=(xx)(xxx)=X5=X2+X3 Üslerin çarpı nı ile ilgili kurallardan biri şudur: x”xb=X·+b .Bir başka deyişle, çarpımda üsler toplanır.
Cebir,çok eski bir konudur. Babillerden kalan ve Bundan dört bin yıl öncesine ait tabletlerde cebir .orunlamanın tartışıldığı görülmektedir. Yunanlılar cebirde büyük gelişme sağlamışlardır. Yunanlılar. daha çok geometri ile uğraşmışlar ve bu da, bütün matematiği oldugu gibi cebiri de etkilemişti.
Araplar ve Hintliler de birçok büyük cebir bilgini yetiştirmişlerdir. Cebir sözcüğü Arap matematikçisi Harizm tarafından kullanılmıştır. Cebir konusu, Araplardan edinilen bilgilerle, Avrupa’da XIV. yüzyıldan sonra gelişmeye başlamıştır.
Bugün cebirde kullanılan işaretlerin çoğu Avrupa’da 1650 yıllarında kullanılıyordu. x, y ve z harfleri, büyük filozof ve matematikçi Descartes tarafından, bilinmeyenleri göstermek için kullanılmıştır.
